时间: 2026-05-17 10:53:40 |   作者: 鼎博安卓版

  24.4弧长和扇形面积【十大考点+十大题型】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分打破

  24.4弧长和扇形面积【十大考点+十大题型】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分打破

  24.4弧长和扇形面积 【考点概括】 考点一：弧长公式的核算 考点二：扇形面积公式 考点三：圆锥的核算 考点四：求圆周旁边面打开后的圆心角 考点五：最短途径问题 考点六：求图形旋转后扫过的面积问题 考点七：求弓形面积 考点八：求弧形运动途径长度 考点九：暗影面积的核算 考点十：弧长和 扇形面积概括 【常识整理】 常识点点一．弧长公式、半径为R，圆心角为n°的弧长为 . 常识点二．扇形及扇形面积公式 （1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形 . （2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为 . 常识点三．圆锥与其旁边面打开图 圆锥是由一个底面和一个 旁边面围成的，咱们把衔接圆锥极点和底面圆周上恣意一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥的旁边面打开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，弧长等于圆锥底面圆的周长. 常识点四．圆锥的旁边面积和全面积 圆锥的旁边面打开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底面圆的周长）为，因而圆锥的旁边面积为，圆锥的全面积为. 【题型探求】 题型一：弧长公式的核算 【例1】．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知圆弧地点的圆的半径为，所对的圆心角为．则该圆弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【剖析】本题考察的是弧长的核算，弧长公式：（弧长为l，圆心视点数为n，圆的半径为r），熟记公式是解题的要害．运用弧长的核算公式核算即可． 【详解】解：∵圆弧地点的圆的半径为，所对的圆心角为． ∴该圆弧的长度为， 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为直径，点C，D别离在两边，衔接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【剖析】本题考察圆周角，邻补角，弧长公式，把握常识点是解题的要害． 衔接，求出，得到，再运用弧长公式求解即可． 【详解】解：衔接，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，认为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【剖析】本题考察了圆周角定理，弧长公式，解题的要害是正确增加辅助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．衔接，，依据是的直径，可得，再依据，，可得的值，然后求得，然后求出，再结合弧长公式进行列式，即可作答． 【详解】解：衔接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型二：扇形面积公式 【例2】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，四边形为菱形，点在以点为圆心的上，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【剖析】本题首要考察扇形面积的核算和菱形的相关常识，首要算出扇形的圆心角，然后依据扇形面积公式核算即可． 【详解】解：衔接， 四边形为菱形，点在以点为圆心的上， ， 三角形为正三角形， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段操练）如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，认为圆心，为半径画弧，弧通过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【剖析】本题考察了网格的特色，勾股定理，扇形面积，依据网格的特色求得圆心角和半径是解题的要害． 依据题意以及网格的特色求得，圆弧的半径为，然后依据扇形面积公式进行核算即可． 【详解】解：依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上， ,， 扇形的面积． 故选D． 【变式1】．（2025·贵州安顺·三模）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称谓．如图1，这是一块“创立国家卫生城市”的扇面宣扬展板，该展板的部分示意图如图2所示．若，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（暗影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【剖析】本题首要考察了扇形的面积公式．依据扇形的面积公式，运用减去即可得扇面的面积． 【详解】解：，， ，， ． 故选：C． 题型三：圆锥的核算 【例3】．（2024·广东·模仿猜测）将如图所示的图形绕虚线地点直线旋转一周构成的几许体的旁边面积是（） A． B． C． D． 【答案】D 【剖析】本题首要考察了圆锥体，扇形的面积，勾股定理，解题的要害是把握扇形和弧长联络的面积公式． 运用勾股定理求出圆锥体的母线，运用扇形面积和弧长联络的公式进行求解即可． 【详解】解：该图形旋转一周得到的是圆锥体， ∴由勾股定理得出圆锥体的母线长为， ∴圆锥体的旁边面积为， 故选：D． 【变式1】．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）小明将半径为4的圆沿着直径地点的直线剪成两个半圆，将其间的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【剖析】本题首要考察了圆锥的旁边面打开图、圆锥的高级常识点，澄清圆锥的旁边面打开图与本来的扇形之间的联络是解题的要害． 依据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥的高满意勾股定理，据此求解即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为：， 圆锥的母线， 则高为， 故选：D． 【变式2】．（2025·甘肃武威·一模）如图，假如从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不堆叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【剖析】本题考察了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练把握以上常识点并灵活运用是解此题的要害． 先求出剩余的扇形的视点，再由弧长公式核算可得剩余的扇形的弧长，然后求出圆锥的底面半径，最终由勾股定理核算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩余的扇形的视点为， ∴剩余的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 题型四：求圆周旁边面打开后的圆心角 【例4】．（2025·四川绵阳·模仿猜测）如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的旁边面打开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【剖析】本题考察求圆锥旁边面打开图的圆心视点数，勾股定理求出母线长，依据圆锥的底面圆周长等于旁边面打开图的弧长，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 设打开图的圆心角的度数为，则：， ∴；即：打开图的圆心角的度数为； 故选：C． 【变式1】．（2024·云南红河·模仿猜测）为了拉动村庄经济复兴，某村设立了一个草帽手艺作坊，让留守的白叟也能挣钱，其制造流程与工艺顶用固定标准的扇形草毡围成一个底面周长为，旁边面积为的圆锥形草帽，则制造工艺中所运用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【剖析】本题考察了圆锥旁边面积，弧长公式等常识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心视点数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 【变式2】．（2024·广西河池·三模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，旁边面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【剖析】本题考察的是圆锥的核算，依据圆锥底面周长与打开后所得的扇形的弧长持平，圆锥的母线与打开后所得扇形的半径持平，运用扇形面积公式与弧长公式核算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为cm， ∴圆锥的旁边面打开图扇形的弧长为cm， 由题意得：，解得：， 则，解得，即扇形的圆心角为， 故答案为：B． 题型五：最短途径问题 【例5】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点动身，沿着圆锥旁边面绕行到母线的中点B，则它所走的最短旅程是 ． 【答案】 【详解】解：设它的旁边面打开图的圆心角为， 依据圆锥的底面周长便是旁边面打开图（扇形）的弧长得： ，又∵．，解得：． ∴它的旁边面打开图的圆心角是； 依据旁边面打开图的圆心角是，画出打开图如下： 依据两点之间，线段最短可知为最短途径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 【变式1】．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段操练）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥外表从B点爬到的中点D，最短途径长是 ． 【答案】 【剖析】本题考察圆锥的旁边面打开图，弧长公式，勾股定理，最短途径问题，正确求出圆锥的侧打开图圆心角的巨细是解题要害．由题意可求出圆锥的侧打开图的圆心角巨细，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧打开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 依据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短途径． ∵，， ∴， 故最短途径长是． 故答案为：． 【变式2】．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、构成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短途径长是 ．    【答案】 【剖析】依据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥旁边面打开图的圆心角是，打开圆锥的旁边面，结构直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥旁边面打开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥旁边面打开图中， ∴蚂蚁在圆锥旁边面上从B爬到P的最短间隔是：， 故答案为：． 题型六：求图形旋转后扫过的面积问题 【例6】．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方法在直线上进行旋转，则线段在旋转进程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【剖析】本题首要考察了扇形的面积、旋转的性质，熟练把握扇形的面积公式是解题要害．如图（见解析），设旋转后，点的对应点别离为点，则图中暗影部分的面积即为线段在旋转进程中扫过的面积，衔接，先运用勾股定理可得，再依据旋转的性质可得，然后依据线段在旋转进程中扫过的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点别离为点， 则图中暗影部分的面积即为线段在旋转进程中扫过的面积， 衔接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴线段在旋转进程中扫过的面积为 ， 故选：A． 【变式1】．（2024九年级下·浙江金华·专题操练）将平行四边形的边与边别离绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此刻、D、B 刚好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【剖析】本题考察了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练把握旋转的性质是解题的要害． 衔接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积便是扫过的面积. 【详解】解：衔接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作, 扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积便是扫过的面积. 由旋转可知，， ， 是平行四边形， 中，， ， ， 故选A． 【变式2】．（2023·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【剖析】本题考察扇形面积的核算；旋转的性质．因为将绕点C旋转得到，可见，暗影部分面积为扇形减扇形，别离核算两扇形面积，再核算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 题型七：求弓形面积 【例7】．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧刚好通过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧刚好通过点A．若，则图中暗影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【剖析】本题考察了扇形的面积、等边三角形的断定与性质等常识，熟练把握扇形的面积公式是解题要害．衔接，过点作于点，先证出是等边三角形，再依据图中暗影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，衔接，过点作于点，    由题意可知，， ∴，∴是等边三角形， ∴， ∴，∴， 则图中暗影部分的面积为 ， 故选：A． 【变式1】．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则暗影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：衔接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，弦与笔直，垂足为点，衔接并延伸交于点，，，则图中暗影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，衔接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型八：求弧形运动途径长度 【例8】．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段操练）如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的途径的长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可得，， 由旋转可得， 的长为：， 故选：B． 【变式1】．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地上顺时针旋转，当旋转时，点在地上划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵底面是边长为的正方形， ∴对角线的长度为． ∵，半径． ∴点在地上划出的痕迹长． 【变式2】．（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，笔直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该进程中所通过的途径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，衔接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该进程中所通过的途径长． 故选：C． 题型九：暗影面积的核算 【例9】．（25-26九年级上·北京·阶段操练）如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，衔接，若，则图中弧的长为 ，暗影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴弧的长为，，， ∴ ． 故答案为：； 【变式1】．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则暗影部分的面积为 ． 【答案】 【剖析】过点作于点，衔接，先求出，再证出，依据全等三角形的性质可得，则可得暗影部分的面积等于，运用扇形的面积公式核算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，衔接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴暗影部分的面积为， 故答案为：． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题操练）如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，衔接，则暗影部分的面积为 ．（成果保存π） 【答案】 【剖析】结合已知条件求出的长度，然后依据E，运用平行四边形的性质及各图形的面积公式列式核算即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题首要考察平行四边形的性质及扇形的面积公式，结合已知条件列得是解题的要害． 题型十：弧长和 扇形面积概括 【例10】．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延伸线)求证：是的切线)当，时，求图中暗影部分的面积． 【详解】（1）证明：衔接并延伸交于点E，衔接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， 是的切线）解：衔接， 在中，， ， ， 是等边三角形， ， ∵，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，O是上一点，认为半径的与相切，切点为D，衔接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的暗影部分的图形面积．（成果保存根号和π） 【详解】（1）证明：衔接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）①解：设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴暗影总分的面积为． 【变式2】．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线通过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线)若，， ①求的直径； ②求暗影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，衔接． ， ， 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线）解：①在中，， ∴，， 是的直径， ， 在中，，， ，即直径为4； ②， ， ， 是等边三角形， 的高为：， ． 【高分合格】 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥旁边面打开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【剖析】本题考察了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥旁边面打开图的扇形的圆心角是，依据圆锥旁边面打开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥旁边面打开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥旁边面打开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【剖析】本题考察了弧长公式，熟记弧长公式是解题的要害．直接用弧长公式核算即可． 【详解】解：依据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手艺织造的有用雨具，其形状常可笼统成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的旁边面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【剖析】本题考察求圆锥的旁边面积，依据圆锥的旁边面积公式：，进行核算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的旁边面面积为； 故选：C． 4．（25-26九年级上·云南·阶段操练）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【剖析】本题概括考察有关扇形和圆锥的相关核算．解题要害是把握：（1）圆锥的母线长等于旁边面打开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于旁边面打开图的扇形弧长．正确对这两个联络的回忆是解题的要害．据此回答即可． 【详解】解：∵半径为，圆心角为的扇形纸板的弧长是：， ∴用这个扇形纸板做成的圆锥形生日帽的底面圆的周长是． 故选：A． 5．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段操练）钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【剖析】本题考察了钟面角，扇形的面积，先求出从9点到9点20分，分针转过的视点，再由扇形的面积公式核算即可得解，熟练把握以上常识点并灵活运用是解此题的要害． 【详解】解：从9点到9点20分，分针转过的视点为， 故钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是， 故选：B． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，别离与，相交于点，，则暗影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【剖析】衔接、，运用等边三角形和圆的性质断定出与为等边三角形，然后断定出为等边三角形，运用勾股定理求出的长，即可求出的面积，再求出扇形的面积，即可求解． 【详解】如图，衔接、，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴与为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考察了等边三角形的断定及性质，垂径定理，扇形的面积公式，勾股定理，合理做出辅助线九年级上·河南濮阳·阶段操练）如图，扇形是圆锥的旁边面打开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【剖析】本题首要考察了扇形的弧长公式，勾股定理，先依据圆锥的旁边面打开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最终用勾股定理即可得出定论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 8．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A通过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【剖析】本题考察了弧长的核算以及旋转的性质． 依据题意得出翻滚一周时点A通过的路线长，然后求出即可． 【详解】解：如图所示：    ∵，，， ∴， ∴翻滚一周时点A通过的路线长是：． 故选：C． 9．（2020·辽宁沈阳·二模）如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【剖析】本题考察了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的要害是熟记弧长公式． 衔接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：衔接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 10．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转进程中所扫过部分（暗影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【剖析】本题首要考察旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等常识点，把握扇形的面积公式是解题的要害． 运用勾股定理求出，运用旋转的性质可得，然后求出和，再结合图形即可回答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 11．（25-26九年级上·吉林长春·期中）钟面上分针的长为，通过，分针在钟面上扫过的面积是 ． 【答案】 【剖析】本题考察了圆的面积和视点核算，把握常识点的运用是解题的要害. 依据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分针扫过的面积是圆面积的，依据圆的面积公式，把数据代入公式进行回答即可． 【详解】解：依据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分针扫过的面积是圆面积的， ∴分针在钟面上扫过的面积是， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期中）如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的暗影部分（别离以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么装置单侧（暗影部分）需求的铁皮面积约是 ． 【答案】 【剖析】本题考察了扇形的面积公式，熟练把握扇形的面积公式是解题的要害． 求出圆心角，再运用扇形的面积公式核算即可． 【详解】解：四边形中，， ， 车轮的直径为26英寸，约， 需求的铁皮面积约是， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是半圆的直径，切线与弦的延伸线交于点，，其时，的长为 ． 【答案】 【剖析】本题首要考察了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，弧长公式，熟知相关性质和核算公式是解题的要害．衔接，运用切线的性质和圆周角定理可求出圆心角的度数，最终再运用弧长公式即可求值． 【详解】解：如图， 衔接， 是半圆的切线， ， ． ， ． ， ， ． 是半圆的直径， ， ， ， ． 即的长为． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角；若，，则扇面（暗影）部分的面积是 ．（成果用表明） 【答案】 【剖析】本题首要考察了扇形面积公式的运用，熟练把握扇形面积公式是解题的要害． 运用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来核算暗影部分面积． 【详解】解：∵，， ∴ （）， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·广西南宁·期中）我国扇文明根由深沉，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无量.如图，当折扇地点扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较漂亮的，若此扇形的半径，则折扇地点扇形的长为 （成果保存） 【答案】 【剖析】本题首要考察了求弧长，依据弧长公式核算，即，n为圆心角的度数，r为扇形的半径． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 三、回答题 16．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，与相切于点，，别离交于点，，． (1)其时，求的长； (2)在（1）的条件下，，求暗影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，衔接， 与相切于点， ， ， ， ， 在和中， （）， ； （2）解：由（1）得， ，是直角三角形， 依据勾股定理，得， ， ， ， ． 17．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，的三个极点的坐标别离为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C对应点别离为，，． (1)画出旋转后的； (2)记线段与线段BC的交点为G，则______°； (3)点C通过的途径长为______． 【详解】（1）解：作图如下： 即为所求； （2）解：在（1）的图形中，过作轴于、过作轴于，如图所示： ， ， ， ， 在中，，则， 在中，由三角形内角和定理可知， ； （3）解：∵，， ∴点C通过的途径长为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，已知弦，相交于点E，衔接，． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【剖析】本题考察了弧、弦、圆心角的联络，圆周角定理，弧长公式，熟练把握相关常识点是解题的要害． （1）依据等弦对等弧即可证明； （2）衔接，依据笔直的界说得到，则有，运用圆周角定理得到，则有，依据得到，最终运用弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，衔接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， 又∵的半径为4， ∴． 19．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，为的直径，点C在上，延伸到D，衔接并延伸，与交于点E，衔接，刚好使得． (1)求证：； (2)若，弧的长为，求弧与所围成部分的面积． 【详解】（1）证明：∵所对应的圆周角为和，一起， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵为的直径， ∴，即， ∴是等腰三角形底边的高，也是中线）解：衔接，如下图所示， ∵直径， ∴圆的半径， ∴， ∴圆心角， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴扇形的面积为， ∴弧与所围成部分的面积为扇形与面积之差，即． 答：弧与所围成部分的面积为． 20．（22-23九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是认为直径的半圆上的两点，，衔接． (1)求证：； (2)若，求暗影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【剖析】（1）依据同弧所对的圆周角持平得到，依据得到，然后得到定论； （2）衔接，依据所求的暗影部分面积与扇形的面积及的联络即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，衔接交线段于点M． ∵°， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题首要考察扇形的面积，同弧所对的圆周角持平，勾股定理，平行线的断定，把握定理以及扇形面积公式是解题的要害． 21．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延伸线)求证：是的切线)若，，求暗影部分的面积． 【详解】（1） 证明：如图衔接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延伸线于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线）是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中，，与切于点，与、别离交于点、，与的延伸线交于点，衔接、，延伸交于点，已知． (1)判别与的方位联络，并说明理由； (2)若的半径为，求图中暗影部分的面积．(成果保存π) 【答案】(1)是的切线，理由见解析 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 衔接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 23．（2024九年级上·山东青岛·专题操练）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中暗影部分的面积． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：衔接，，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 平分， ，，； （3）解：，，，， ，，， ，， ， ， 扇形的面积，的面积， 暗影部分的面积扇形的面积的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.4弧长和扇形面积 【考点概括】 考点一：弧长公式的核算 考点二：扇形面积公式 考点三：圆锥的核算 考点四：求圆周旁边面打开后的圆心角 考点五：最短途径问题 考点六：求图形旋转后扫过的面积问题 考点七：求弓形面积 考点八：求弧形运动途径长度 考点九：暗影面积的核算 考点十：弧长和 扇形面积概括 【常识整理】 常识点点一．弧长公式、半径为R，圆心角为n°的弧长为 . 常识点二．扇形及扇形面积公式 （1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形 . （2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为 . 常识点三．圆锥与其旁边面打开图 圆锥是由一个底面和一个 旁边面围成的，咱们把衔接圆锥极点和底面圆周上恣意一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥的旁边面打开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，弧长等于圆锥底面圆的周长. 常识点四．圆锥的旁边面积和全面积 圆锥的旁边面打开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底面圆的周长）为，因而圆锥的旁边面积为，圆锥的全面积为. 【题型探求】 题型一：弧长公式的核算 【例1】．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知圆弧地点的圆的半径为，所对的圆心角为．则该圆弧的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为直径，点C，D别离在两边，衔接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，认为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型二：扇形面积公式 【例2】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，四边形为菱形，点在以点为圆心的上，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段操练）如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，认为圆心，为半径画弧，弧通过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·贵州安顺·三模）2017年6月，安顺市获得了“国家卫生城市”这一称谓．如图1，这是一块“创立国家卫生城市”的扇面宣扬展板，该展板的部分示意图如图2所示．若，AB的长为45cm，AD的长为15cm，则扇面（暗影）的面积为（   ） A． B． C． D． 题型三：圆锥的核算 【例3】．（2024·广东·模仿猜测）将如图所示的图形绕虚线地点直线旋转一周构成的几许体的旁边面积是（） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）小明将半径为4的圆沿着直径地点的直线剪成两个半圆，将其间的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】．（2025·甘肃武威·一模）如图，假如从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不堆叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 题型四：求圆周旁边面打开后的圆心角 【例4】．（2025·四川绵阳·模仿猜测）如图，是圆锥的轴截面图形，是圆锥的高．若，则该圆锥的旁边面打开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024·云南红河·模仿猜测）为了拉动村庄经济复兴，某村设立了一个草帽手艺作坊，让留守的白叟也能挣钱，其制造流程与工艺顶用固定标准的扇形草毡围成一个底面周长为，旁边面积为的圆锥形草帽，则制造工艺中所运用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2024·广西河池·三模）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，旁边面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 题型五：最短途径问题 【例5】．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点动身，沿着圆锥旁边面绕行到母线的中点B，则它所走的最短旅程是 ． 【变式1】．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段操练）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥外表从B点爬到的中点D，最短途径长是 ． 【变式2】．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、构成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短途径长是 ．    题型六：求图形旋转后扫过的面积问题 【例6】．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方法在直线上进行旋转，则线段在旋转进程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024九年级下·浙江金华·专题操练）将平行四边形的边与边别离绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此刻、D、B 刚好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 【变式2】．（2023·山东聊城·二模）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 题型七：求弓形面积 【例7】．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧刚好通过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧刚好通过点A．若，则图中暗影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【变式1】．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则暗影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，弦与笔直，垂足为点，衔接并延伸交于点，，，则图中暗影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型八：求弧形运动途径长度 【例8】．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段操练）如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的途径的长为（） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地上顺时针旋转，当旋转时，点在地上划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·安徽滁州·一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，笔直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该进程中所通过的途径长为（   ） A． B． C． D． 题型九：暗影面积的核算 【例9】．（25-26九年级上·北京·阶段操练）如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，衔接，若，则图中弧的长为 ，暗影部分的面积是 ． 【变式1】．（25-26九年级上·北京·期中）如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则暗影部分的面积为 ． 【变式2】．（2025九年级上·浙江·专题操练）如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，衔接，则暗影部分的面积为 ．（成果保存π） 题型十：弧长和 扇形面积概括 【例10】．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延伸线)求证：是的切线)当，时，求图中暗影部分的面积． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，O是上一点，认为半径的与相切，切点为D，衔接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的暗影部分的图形面积．（成果保存根号和π） 【变式2】．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线通过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线)若，， ①求的直径； ②求暗影部分的面积． 【高分合格】 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥旁边面打开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手艺织造的有用雨具，其形状常可笼统成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的旁边面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南·阶段操练）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段操练）钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·全国·期中）如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，别离与，相交于点，，则暗影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段操练）如图，扇形是圆锥的旁边面打开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A通过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 9．（2020·辽宁沈阳·二模）如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转进程中所扫过部分（暗影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·吉林长春·期中）钟面上分针的长为，通过，分针在钟面上扫过的面积是 ． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期中）如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的暗影部分（别离以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么装置单侧（暗影部分）需求的铁皮面积约是 ． 13．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是半圆的直径，切线与弦的延伸线交于点，，其时，的长为 ． 14．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角；若，，则扇面（暗影）部分的面积是 ．（成果用表明） 15．（25-26九年级上·广西南宁·期中）我国扇文明根由深沉，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无量.如图，当折扇地点扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较漂亮的，若此扇形的半径，则折扇地点扇形的长为 （成果保存） 三、回答题 16．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，与相切于点，，别离交于点，，． (1)其时，求的长； (2)在（1）的条件下，，求暗影部分的面积． 17．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，的三个极点的坐标别离为，，．将绕原点O顺时针旋转得到，点A，B，C对应点别离为，，． (1)画出旋转后的； (2)记线段与线段BC的交点为G，则______°； (3)点C通过的途径长为______． 18．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，已知弦，相交于点E，衔接，． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 19．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，为的直径，点C在上，延伸到D，衔接并延伸，与交于点E，衔接，刚好使得． (1)求证：； (2)若，弧的长为，求弧与所围成部分的面积． 20．（22-23九年级上·福建福州·月考）如图，C，D是认为直径的半圆上的两点，，衔接． (1)求证：； (2)若，求暗影部分的面积． 21．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延伸线)求证：是的切线)若，，求暗影部分的面积． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中，，与切于点，与、别离交于点、，与的延伸线交于点，衔接、，延伸交于点，已知． (1)判别与的方位联络，并说明理由； (2)若的半径为，求图中暗影部分的面积．(成果保存π) 23．（2024九年级上·山东青岛·专题操练）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数； (3)若，求图中暗影部分的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $

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  2025-2026学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分打破（人教版）

  第13讲 弧长与扇形面积（常识清单+易错+4必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版）

  专题24.32 弧长和扇形的面积（常识整理与考点分类解说）-2023-2024学年九年级数学上册基础常识专项打破讲与练（人教版）

  专题24.35 圆锥的旁边面积（常识整理与考点分类解说）-2023-2024学年九年级数学上册基础常识专项打破讲与练（人教版）

  24.4 弧长和扇形面积-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分打破系列（人教版）

  24.4 弧长和扇形面积（第二课时 圆锥的旁边面积和全面积）-2023-2024学年九年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

  第07讲 弧长、扇形面积和圆锥的旁边面积（常识解读+线学年九年级数学上册《常识解读•题型专练》（人教版）

  专题07 圆的相关核算（常识串讲+10大考点）-【一遍过】2023-2024学年九年级数学上册重难考点一遍过（人教版）

  第12讲 圆的弧长和扇形面积问题（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

  第13讲 圆锥的旁边面积和全面积问题（讲义）-2023-2024学年人教版九年级数学上册同步学讲练测系列讲座之《圆》

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